831. При совместной работе двух копировальных машин можно снять ксерокопию с рукописи за 6 мин. Если сначала снять ксерокопию с половины рукописи одной машиной, а затем оставшейся части - другой машиной, то вся работа будет кончена через 12.5 мин. За какое время можно снять ксерокопию с рукописи каждой машиной в отдельности?

Решение:

Пусть x – время, за которое первая машина может снять всю ксерокопию,

y – время, за которое вторая машина может снять всю ксерокопию.

Тогда \[\frac{1}{x}\] – часть работы, которую выполняет первая машина за 1 минуту,

\[\frac{1}{y}\] – часть работы, которую выполняет вторая машина за 1 минуту.

Вместе за 6 минут они выполняют всю работу, то есть:

\[6\cdot\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1\]

Первая машина сняла половину рукописи за время \[\frac{x}{2}\] минут, а вторая – оставшуюся половину за время \[\frac{y}{2}\] минут. Вместе это заняло 12.5 минут:

\[\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 12.5\]

Составим систему уравнений:

\[\begin{cases} 6\cdot\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1 \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 12.5 \end{cases}\]

Упростим систему:

\[\begin{cases} \frac{6}{x} + \frac{6}{y} = 1 \\ x + y = 25 \end{cases}\]

Выразим x через y: \[x = 25 - y\] и подставим в первое уравнение:

\[\frac{6}{25 - y} + \frac{6}{y} = 1\]

Умножим обе части уравнения на \[y(25 - y)\]:

\[6y + 6(25 - y) = y(25 - y)\]

\[6y + 150 - 6y = 25y - y^2\]

\[y^2 - 25y + 150 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 = 625 - 600 = 25\]

\[y_1 = \frac{25 + \sqrt{25}}{2} = \frac{25 + 5}{2} = \frac{30}{2} = 15\]

\[y_2 = \frac{25 - \sqrt{25}}{2} = \frac{25 - 5}{2} = \frac{20}{2} = 10\]

Если \[y = 15\] минут, то \[x = 25 - 15 = 10\] минут.

Если \[y = 10\] минут, то \[x = 25 - 10 = 15\] минут.

Ответ: Первая машина может снять ксерокопию за 10 минут, вторая – за 15 минут, или наоборот.

Проверка за 10 секунд: Подставьте найденные значения в исходные уравнения и убедитесь, что они верны.

Уровень Эксперт: Подумайте, как можно интерпретировать эту задачу с точки зрения работы с производительностью и ресурсами.