5. При каком значении а уравнение х² = ax + 7 = 0. имеет один корень? Или: Решите уравнение: |x| x³ +8x+15=0.

1) Исходное уравнение имеет вид $$x^2 - ax + 7 = 0$$. Уравнение имеет один корень, когда дискриминант равен нулю. $$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = a^2 - 28$$.

Приравняем дискриминант к нулю: $$a^2 - 28 = 0$$, $$a^2 = 28$$, $$a = \pm \sqrt{28} = \pm 2\sqrt{7}$$.

2) Решим уравнение $$\frac{x^3}{|x|} + 8x + 15 = 0$$.

Рассмотрим два случая:

• $$x > 0$$, тогда $$|x| = x$$ и уравнение принимает вид $$\frac{x^3}{x} + 8x + 15 = 0$$, $$x^2 + 8x + 15 = 0$$. Дискриминант $$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$$. Корни: $$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = -3$$, $$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = -5$$. Оба корня не подходят, так как $$x > 0$$
• $$x < 0$$, тогда $$|x| = -x$$ и уравнение принимает вид $$\frac{x^3}{-x} + 8x + 15 = 0$$, $$-x^2 + 8x + 15 = 0$$, $$x^2 - 8x - 15 = 0$$. Дискриминант $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 64 + 60 = 124$$. Корни: $$x_1 = \frac{8 + \sqrt{124}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2\sqrt{31}}{2} = 4 + \sqrt{31}$$, $$x_2 = \frac{8 - \sqrt{124}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2\sqrt{31}}{2} = 4 - \sqrt{31}$$. Подходит только корень $$x = 4 - \sqrt{31}$$, так как $$x < 0$$

Ответ: 1) $$a = \pm 2\sqrt{7}$$; 2) $$x = 4 - \sqrt{31}$$