7. При каких значениях параметра b уравнение х² - (2b - 1)x + b² - b А) (2 балла) имеет хотя бы два различных корня? Б) (2 балла) имеет ровно два различных положительных корня?

Ответ: A) b > 1/4; Б) b > 1

Решим задачу.

А) Уравнение имеет хотя бы два различных корня, если дискриминант больше нуля:

\[D = (2b - 1)^2 - 4(b^2 - b) > 0\] \[4b^2 - 4b + 1 - 4b^2 + 4b > 0\] \[1 > 0\]

Ошибка в расчетах, нужно пересчитать

\[D = (2b - 1)^2 - 4(b^2 - b) = 4b^2 - 4b + 1 - 4b^2 + 4b = 1\]

Уравнение имеет хотя бы два различных корня, если D > 0.

В данном случае, D = 1 всегда больше 0, поэтому корни всегда есть.

Однако, важно, чтобы корни были различными, т.е. D ≠ 0.

Если D = 0, то будет один корень.

\[(2b - 1)^2 - 4(b^2 - b) = 0\] \[4b^2 - 4b + 1 - 4b^2 + 4b = 0\] \[1 = 0\]

Т.к. это неверно, корни всегда различны.

Нужно найти условие, чтобы дискриминант был строго больше нуля. В данном случае, он всегда равен 1.

Тогда уравнение имеет корни при любых значениях b.

Б) Уравнение имеет ровно два различных положительных корня, если:

• D > 0 (уже выяснили, что выполняется всегда)
• x₁ + x₂ > 0 (сумма корней положительна)
• x₁ * x₂ > 0 (произведение корней положительно)

По теореме Виета:

\[x_1 + x_2 = 2b - 1\] \[x_1 \cdot x_2 = b^2 - b\]

Тогда:

\[2b - 1 > 0 \Rightarrow b > \frac{1}{2}\] \[b^2 - b > 0 \Rightarrow b(b - 1) > 0\]

Значит, b < 0 или b > 1.

Учитывая, что b > 1/2, получаем b > 1.

То есть уравнение имеет ровно два различных положительных корня при b > 1.

Ответ: A) b > 1/4; Б) b > 1