При каких значениях m прямая y = m будет пересекать график в 2 точках?

Построение графика функции:

Функция задана кусочно:

• При \( x < 1 \) график — часть параболы \( y = x^{2} \). Вершина параболы в (0,0). Точка (1,1) — не включена в эту часть графика.
• При \( x \ge 1 \) график — часть гиперболы \( y = \frac{1}{x} \). Асимптоты: ось X и ось Y. Точка (1,1) — включена в эту часть графика.

Ключевая точка графика — (1,1).

При \( x=0 \), \( y = 0^2 = 0 \). Точка (0,0).

При \( x=1 \), \( y = 1^2 = 1 \) (для первой части) и \( y = \frac{1}{1} = 1 \) (для второй части). Обе части сходятся в точке (1,1).

Анализ пересечений с прямой y = m:

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия. Нам нужно найти, при каких значениях \( m \) эта линия пересекает построенный график ровно в двух точках.

Рассмотрим поведение графика:

• Часть параболы \( y = x^{2} \) при \( x < 1 \) проходит через точки:
  • (0,0)
  • (-1,1)
  • (-2,4)

  Эта часть графика начинается от \( y = 1 \) (не включая) и идет вниз до \( y = 0 \) (включая) и далее вниз неограниченно.

• Часть гиперболы \( y = \frac{1}{x} \) при \( x \ge 1 \) проходит через точки:
  • (1,1)
  • (2, 0.5)
  • (3, 1/3)

  Эта часть графика начинается от \( y = 1 \) (включая) и идет вниз к оси X (асимптота).

Теперь посмотрим, сколько точек пересечения дает линия \( y = m \) для разных \( m \):

• Если \( m < 0 \): Линия \( y = m \) пересечет только параболу (один раз).
• Если \( m = 0 \): Линия \( y = 0 \) пересечет параболу в точке (0,0) (один раз).
• Если \( 0 < m < 1 \): Линия \( y = m \) пересечет параболу дважды (один раз для \( x < 0 \) и один раз для \( 0 < x < 1 \)). Она также пересечет гиперболу один раз (для \( x > 1 \)). Итого 3 точки.
• Если \( m = 1 \): Линия \( y = 1 \) пересечет параболу в точке (-1,1) и пройдет через точку (1,1) (которая принадлежит и гиперболе). То есть, пересечет параболу в одной точке \( x=-1 \) и гиперболу в точке \( x=1 \). Всего 2 точки.
• Если \( m > 1 \): Линия \( y = m \) пересечет параболу один раз (для \( x < -1 \)) и гиперболу один раз (для \( 0 < x < 1 \)). Итого 2 точки.

Важно: В условии сказано \( x < 1 \) для параболы и \( x \ge 1 \) для гиперболы. Точка (1,1) является общей границей, но она включена только для гиперболы.

Давайте пересмотрим пересечения:

• \( m < 0 \): 1 точка (парабола)
• \( m = 0 \): 1 точка (парабола, (0,0))
• \( 0 < m < 1 \): 2 точки (парабола, \( x<0 \) и \( 0
• \( m = 1 \): 1 точка (парабола, \( x=-1 \)). Гипербола проходит через (1,1), но парабола не включает точку (1,1) при \( x=1 \), а только стремится к ней.
• \( m > 1 \): 2 точки (парабола, \( x < -1 \); гипербола, \( 0 < x < 1 \))

Коррекция:

• \( y = x^{2} \) при \( x < 1 \): Эта ветвь параболы проходит от \( y=\infty \) через \( y=1 \) (при \( x=-1 \)) до \( y=0 \) (при \( x=0 \)) и далее вниз. То есть, для \( m > 1 \) есть 1 пересечение (напр., \( y=4 \) пересекает \( y=x^2 \) при \( x=-2 \)); для \( m=1 \) есть 1 пересечение (при \( x=-1 \)); для \( 0 \le m < 1 \) есть 2 пересечения (например, \( y=0.5 \) пересекает \( y=x^2 \) при \( x=\pm \sqrt{0.5} \) — но \( x < 1 \), так что оба подходят); для \( m < 0 \) есть 1 пересечение.
• \( y = \frac{1}{x} \) при \( x \ge 1 \): Эта ветвь гиперболы идет от \( y=1 \) (при \( x=1 \)) вниз к \( y=0 \). Для \( m > 1 \) нет пересечений; для \( m=1 \) есть 1 пересечение (при \( x=1 \)); для \( 0 < m < 1 \) есть 1 пересечение (при \( x = 1/m > 1 \)); для \( m \le 0 \) нет пересечений.

Суммируем:

• \( m < 0 \): 1 пересечение (парабола).
• \( m = 0 \): 1 пересечение (парабола).
• \( 0 < m < 1 \): 2 пересечения (парабола) + 1 пересечение (гипербола) = 3 пересечения.
• \( m = 1 \): 1 пересечение (парабола, \( x=-1 \)) + 1 пересечение (гипербола, \( x=1 \)) = 2 пересечения.
• \( m > 1 \): 1 пересечение (парабола) + 0 пересечений (гипербола) = 1 пересечение.

Таким образом, прямая \( y=m \) будет пересекать график в 2 точках только при \( m=1 \).