4. Постройте график функции y = { x; x <= 1; 2/x; x > 1 }. При каких значениях m прямая y = m будет пересекать график в 2 точках?

Построение графика функции:

Функция задана кусочно:

• При \( x \le 1 \) график — часть прямой \( y = x \). Эта часть проходит через (0,0), (1,1). Точка (1,1) включена.
• При \( x > 1 \) график — часть гиперболы \( y = \frac{2}{x} \). Асимптоты: ось X и ось Y. Точка (1,2) — не включена в эту часть графика, так как \( x>1 \).

Ключевая точка, где меняется условие — \( x = 1 \).

• При \( x = 1 \), \( y = 1 \) (для первой части, \( x ≤ 1 \), поэтому точка (1,1) включена).
• При \( x \to 1^+ \), \( y = \frac{2}{x} \to 2 \) (для второй части, точка (1,2) не включена).

Анализ пересечений с прямой y = m:

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия. Нам нужно найти, при каких значениях \( m \) эта линия пересекает построенный график ровно в двух точках.

Рассмотрим поведение графика:

• Ветвь прямой \( y = x \) при \( x \le 1 \): Проходит через (0,0), (1,1), (-1,-1) и т.д.
• Ветвь гиперболы \( y = \frac{2}{x} \) при \( x > 1 \): Проходит через (2,1), (3, 2/3), (4, 0.5) и т.д. Эта ветвь идет от \( y=2 \) (не включая) вниз к оси X (асимптота).

Теперь посмотрим, сколько точек пересечения дает линия \( y = m \) для разных \( m \):

• Если \( m < 0 \): Линия \( y = m \) пересечет только прямую (один раз, при \( x=m \)).
• Если \( m = 0 \): Линия \( y = 0 \) пересечет прямую в точке (0,0) (один раз).
• Если \( 0 < m < 1 \): Линия \( y = m \) пересечет прямую один раз (при \( x=m \)). Гипербола не пересекается. Итого 1 точка.
• Если \( m = 1 \): Линия \( y = 1 \) пересечет прямую в точке (1,1). Гипербола пересекается в точке (2,1). Итого 2 точки.
• Если \( 1 < m < 2 \): Линия \( y = m \) пересечет прямую один раз (при \( x=m \)). Гипербола пересекается один раз (при \( x=2/m \)). Итого 2 точки.
• Если \( m = 2 \): Линия \( y = 2 \) пересечет прямую один раз (при \( x=2 \)). Гипербола не пересекается (так как \( x>1 \), \( y=2/x < 2 \)). Итого 1 точка.
• Если \( m > 2 \): Линия \( y = m \) пересечет прямую один раз (при \( x=m \)). Гипербола не пересекается. Итого 1 точка.

Таким образом, прямая \( y=m \) будет пересекать график в 2 точках при:

• \( m = 1 \)
• \( 1 < m < 2 \)

Объединяя эти интервалы, получаем \( 1 ≤ m < 2 \).