3. Постройте график функции y = { x^2; x < 1; 2/x; x >= 1 }. При каких значениях m прямая y = m будет пересекать график в 2 точках?

Построение графика функции:

Функция задана кусочно:

• При \( x < 1 \) график — часть параболы \( y = x^{2} \). Вершина параболы в (0,0). Эта часть графика начинается от \( y=1 \) (не включая) и идет вниз до \( y=0 \) (включая) и далее вниз неограниченно.
• При \( x \ge 1 \) график — часть гиперболы \( y = \frac{2}{x} \). Асимптоты: ось X и ось Y. Точка (1, 2) — включена в эту часть графика.

Ключевая точка, где меняется условие — \( x = 1 \).

• При \( x = 1 \), \( y = 1^2 = 1 \) (для первой части, но \( x<1 \), поэтому точка (1,1) не включается).
• При \( x = 1 \), \( y = \frac{2}{1} = 2 \) (для второй части, \( x ≥ 1 \), поэтому точка (1,2) включается).

Анализ пересечений с прямой y = m:

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия. Нам нужно найти, при каких значениях \( m \) эта линия пересекает построенный график ровно в двух точках.

Рассмотрим поведение графика:

• Ветвь параболы \( y = x^{2} \) при \( x < 1 \): Проходит через (0,0), (-1,1), (-2,4) и т.д. Эта ветвь идет от \( y = \infty \) до \( y = 1 \) (не включая точку \( x=1 \)).
• Ветвь гиперболы \( y = \frac{2}{x} \) при \( x \ge 1 \): Проходит через (1,2), (2,1), (3, 2/3) и т.д. Эта ветвь идет от \( y=2 \) (включая) вниз к оси X (асимптота).

Теперь посмотрим, сколько точек пересечения дает линия \( y = m \) для разных \( m \):

• Если \( m < 0 \): Линия \( y = m \) пересечет только параболу (один раз).
• Если \( m = 0 \): Линия \( y = 0 \) пересечет параболу в точке (0,0) (один раз).
• Если \( 0 < m < 1 \): Линия \( y = m \) пересечет параболу дважды (например, \( y=0.5 \) пересекает \( y=x^2 \) при \( x=\pm \sqrt{0.5} \), оба значения \( x \) меньше 1). Гипербола не пересекается. Итого 2 точки.
• Если \( m = 1 \): Линия \( y = 1 \) пересечет параболу один раз (при \( x = -1 \), так как \( x < 1 \)). Гипербола пересекается в точке (2,1). Итого 2 точки.
• Если \( 1 < m < 2 \): Линия \( y = m \) пересечет параболу один раз (например, \( y=1.5 \) пересечет \( y=x^2 \) при \( x=-\sqrt{1.5} \)). Гипербола пересекается один раз (например, \( y=1.5 \) пересечет \( y=2/x \) при \( x=2/1.5 = 4/3 \)). Итого 2 точки.
• Если \( m = 2 \): Линия \( y = 2 \) пересечет параболу один раз (при \( x = -\sqrt{2} \)). Гипербола пересекается в точке (1,2). Итого 2 точки.
• Если \( m > 2 \): Линия \( y = m \) пересечет параболу один раз (например, \( y=3 \) пересечет \( y=x^2 \) при \( x=-\sqrt{3} \)). Гипербола не пересекается. Итого 1 точка.

Таким образом, прямая \( y=m \) будет пересекать график в 2 точках при:

• \( 0 < m < 1 \)
• \( m = 1 \)
• \( 1 < m < 2 \)
• \( m = 2 \)

Объединяя эти интервалы, получаем \( 0 < m \le 2 \).