1129. Постройте в одной системе координат графики функций y = √х и у = x. а) Укажите координаты их общих точек. б) При каких значениях х график функции у = √х расположен выше прямой у = х и при каких значениях х он расположен ниже этой прямой?

Ответ: (0; 0), (1; 1)

Построим графики функций y = √x и y = x в одной системе координат.

a) Чтобы найти координаты общих точек, приравняем функции друг к другу:

\[\sqrt{x} = x\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[x = x^2\]

Перенесем все в одну сторону:

\[x^2 - x = 0\]

Вынесем x за скобки:

\[x(x - 1) = 0\]

Отсюда получаем два решения:

\[x_1 = 0\]

\[x_2 = 1\]

Найдем соответствующие значения y:

Для x = 0: y = √0 = 0

Для x = 1: y = √1 = 1

Таким образом, координаты общих точек: (0; 0) и (1; 1).

б) Определим, при каких значениях x график y = √x расположен выше или ниже прямой y = x.

Рассмотрим интервалы:

• 0 < x < 1: Например, x = 0.25. Тогда y = √0.25 = 0.5, что больше, чем x = 0.25. Значит, на этом интервале график y = √x расположен выше прямой y = x.
• x > 1: Например, x = 4. Тогда y = √4 = 2, что меньше, чем x = 4. Значит, на этом интервале график y = √x расположен ниже прямой y = x.

Вывод:

• График y = √x расположен выше прямой y = x при 0 < x < 1.
• График y = √x расположен ниже прямой y = x при x > 1.

Ответ: (0; 0), (1; 1)