22 Постройте график функции $$y = \begin{cases} x^2 + 2x + 1, \text{ если } x \ge -4, \\ \frac{36}{x}, \text{ если } x < -4. \end{cases}$$ Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Решение:

1. Рассмотрим функцию $$y = x^2 + 2x + 1$$ при условии $$x \ge -4$$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2} = -1$$, а значение функции в этой точке равно $$y_v = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 0$$. Таким образом, вершина параболы находится в точке (-1, 0). Значение функции в точке x = -4 равно $$y(-4) = (-4)^2 + 2(-4) + 1 = 16 - 8 + 1 = 9$$.

2. Рассмотрим функцию $$y = \frac{36}{x}$$ при условии $$x < -4$$. Это гипербола. При $$x = -4$$ значение функции равно $$y = \frac{36}{-4} = -9$$. При $$x \to -\infty$$ значение функции стремится к 0.

Таким образом, график функции состоит из ветви параболы для $$x \ge -4$$ и ветви гиперболы для $$x < -4$$.

Для определения значений m, при которых прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки, рассмотрим различные случаи:

1. $$m < -9$$: Прямая y = m не имеет общих точек с графиком.
2. $$m = -9$$: Прямая y = m имеет одну общую точку с графиком.
3. $$-9 < m < 0$$: Прямая y = m не имеет общих точек с графиком.
4. $$m = 0$$: Прямая y = m имеет одну общую точку с графиком (вершина параболы).
5. $$0 < m < 9$$: Прямая y = m имеет две общие точки с графиком.
6. $$m = 9$$: Прямая y = m имеет одну общую точку с графиком.
7. $$m > 9$$: Прямая y = m имеет одну общую точку с графиком.

Следовательно, прямая y = m имеет одну общую точку с графиком при $$m = -9, m = 0, m = 9$$, и две общие точки при $$0 < m < 9$$.

Ответ: -9, 0, 9