Постройте график функции $$y =\begin{cases} x^2 + 4x + 4, \text{если } x \ge -3; \\-\frac{3}{x}, \text{если } x < -3.\end{cases}$$ Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком одну или две общие точки.

1. Рассмотрим функцию $$y = x^2 + 4x + 4$$, если $$x \ge -3$$:

• Это парабола, которую можно переписать как $$y = (x+2)^2$$.
• Вершина параболы находится в точке $$(-2, 0)$$.
• Ветви параболы направлены вверх.
• Найдем значение функции при $$x = -3$$: $$y(-3) = (-3+2)^2 = (-1)^2 = 1$$.

2. Рассмотрим функцию $$y = -\frac{3}{x}$$, если $$x < -3$$:

• Это гипербола.
• При $$x = -3$$: $$y(-3) = -\frac{3}{-3} = 1$$.
• При $$x \to -\infty$$: $$y \to 0$$.

Прямая $$y=m$$ имеет с графиком одну общую точку, если она проходит через вершину параболы, то есть $$m=0$$, или если она пересекает график гиперболы в области $$x < -3$$ при условии, что не пересекает параболу. Это возможно при $$m \in (0; 1)$$.

Прямая $$y=m$$ имеет с графиком две общие точки, если она пересекает параболу при $$m>0$$ и не касается гиперболы, или когда $$m = 1$$. То есть $$m \in (1; +\infty)$$.

Таким образом, прямая $$y = m$$ имеет одну общую точку при $$m=0$$ и при $$m \in (0; 1)$$.

Две общие точки при $$m=1$$ и при $$m \in (1; +\infty)$$.

Итого одна или две общие точки будут при $$m \ge 0$$.

Ответ: $$m \ge 0$$