Боковые стороны \( AB \) и \( CD \) трапеции \( ABCD \) равны соответственно 10 и 26, а основание \( BC \) равно 1. Биссектриса угла \( ADC \) проходит через середину стороны \( AB \). Найдите площадь трапеции.

Пусть ABCD - трапеция, AD и BC - основания, AB = 10, CD = 26, BC = 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину AB.

Обозначим середину AB как точку M, тогда AM = MB = AB/2 = 10/2 = 5.

∠ADM = ∠CDM (DM - биссектриса угла ADC).

∠AMD = ∠CDM (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных AD и BC и секущей DM).

Следовательно, ∠ADM = ∠AMD, а значит, треугольник AMD - равнобедренный, и AD = AM = 5.

Проведем высоту BH из точки B к основанию AD. Тогда AH = (AD - BC)/2 = (5 - 1)/2 = 4/2 = 2.

По теореме Пифагора для треугольника ABH:

BH = √(AB² - AH²) = √(10² - 2²) = √(100 - 4) = √96 = 4√6.

Площадь трапеции равна:

S = ((BC + AD)/2) * BH = ((1 + 5)/2) * 4√6 = (6/2) * 4√6 = 3 * 4√6 = 12√6.

Ответ: $$12\sqrt{6}$$