Постройте график функции y = {-x²+2x+3, если x < 4, 4x-21, если x ≥ 4. Определите, при каких значениях с прямая y = с имеет с графиком данной функции не менее двух общих точек.

Решение:

Данная функция является кусочно-заданной. Рассмотрим каждый её участок:

1. Первый участок: \( y = -x^2 + 2x + 3 \) при \( x < 4 \).

   Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

   \[ x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 \]

   \[ y_в = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \]

   Вершина параболы находится в точке \( (1; 4) \).

   Найдем значение функции на границе интервала \( x = 4 \):

   \[ y(4) = -(4)^2 + 2(4) + 3 = -16 + 8 + 3 = -5 \]

   Таким образом, первая часть графика — это часть параболы с вершиной в \( (1; 4) \), проходящая через точки \( (4; -5) \) (не включая её) и имеющая начало луча перед \( x=4 \).

2. Второй участок: \( y = 4x - 21 \) при \( x \ge 4 \).

   Это луч прямой. Найдем точку, с которой начинается луч (при \( x = 4 \)):

   \[ y(4) = 4(4) - 21 = 16 - 21 = -5 \]

   Таким образом, вторая часть графика — это луч прямой, исходящий из точки \( (4; -5) \) и идущий вверх при увеличении \( x \).

График:

Анализ для определения значений \( c \):

Прямая \( y = c \) — это горизонтальная линия. Чтобы она имела не менее двух общих точек с графиком данной функции, она должна пересекать:

• Ветви параболы и начало луча прямой (при \( c = -5 \)).
• Ветви параболы и продолжение луча прямой (при \( c > -5 \)).
• Вершину параболы и продолжение луча прямой (при \( c = 4 \)).

Рассмотрим значения \( c \):

• Если \( c < -5 \), прямая \( y = c \) не пересекает график.
• Если \( c = -5 \), прямая \( y = -5 \) имеет две общие точки: \( (4; -5) \) (принадлежит и параболе, и лучу) и одну точку на параболе, где \( -x^2 + 2x + 3 = -5 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 - 2x - 8 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( (x-4)(x+2) = 0 \), что дает \( x = -2 \) (так как \( x < 4 \)). То есть точки \( (4; -5) \) и \( (-2; -5) \).
• Если \( -5 < c < 4 \), прямая \( y = c \) пересекает график в двух точках: одна на параболе (при \( x < 4 \)) и одна на луче прямой (при \( x > 4 \)).
• Если \( c = 4 \), прямая \( y = 4 \) пересекает график в двух точках: вершина параболы \( (1; 4) \) и точка на прямой \( 4x - 21 = 4 \) \( \Rightarrow \) \( 4x = 25 \) \( \Rightarrow \) \( x = 6.25 \). То есть точки \( (1; 4) \) и \( (6.25; 4) \).
• Если \( c > 4 \), прямая \( y = c \) пересекает график только в одной точке (на луче прямой).

Итак, чтобы прямая \( y = c \) имела не менее двух общих точек, \( c \) должно быть в диапазоне от -5 до 4 включительно.

Ответ: \( c \in [-5; 4] \).