Постройте график функции y = { x²+10x+24 при х≥-7, x+11 при х<-7 и определите, при каких значениях т прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Дано: Функция y = { x²+10x+24 при х≥-7, x+11 при х<-7

Найти: Значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Функция задана кусочно. Рассмотрим каждую часть отдельно.

1. Первая часть: y = x² + 10x + 24 при x ≥ -7. Это парабола. Найдем вершину параболы:

   x_в = -b / (2a) = -10 / (2 × 1) = -5

   y_в = (-5)² + 10(-5) + 24 = 25 - 50 + 24 = -1

   Вершина параболы находится в точке (-5, -1). Так как x_в = -5, что больше -7, вершина находится в области определения первой части функции.

   Найдем значение функции на границе области определения x = -7:

   y(-7) = (-7)² + 10(-7) + 24 = 49 - 70 + 24 = 3

   Таким образом, первая часть графика — это ветвь параболы с вершиной в (-5, -1), которая проходит через точку (-7, 3).

2. Вторая часть: y = x + 11 при x < -7. Это прямая линия.

   Найдем значение функции на границе области определения x = -7 (хотя точка x = -7 не включается, она показывает, к чему стремится график):

   y(-7) = -7 + 11 = 4

   Эта часть графика — луч, исходящий из точки (-7, 4) (точка не включена) и идущий влево вниз.

3. Анализ пересечений с прямой y = m: Прямая y = m — это горизонтальная линия.
• Если m < -1, прямая не пересекает график.
• Если m = -1, прямая касается вершины параболы (одна точка пересечения).
• Если -1 < m < 3, прямая пересекает параболу в двух точках.
• Если m = 3, прямая пересекает параболу в одной точке (-7, 3) и не пересекает луч (так как луч начинается с y=4).
• Если 3 < m < 4, прямая пересекает параболу в двух точках.
• Если m = 4, прямая пересекает параболу в одной точке и проходит через начало луча (-7, 4), но эта точка не включается в луч. Таким образом, только одна точка пересечения.
• Если m > 4, прямая пересекает параболу в двух точках и луч в одной точке, всего три точки пересечения.

Мы ищем случай, когда прямая y = m имеет ровно две общие точки с графиком.

Это происходит, когда:

• m > 4 (две точки на параболе и одна на луче, всего три) - НЕ ПОДХОДИТ
• m = 4 (одна точка на параболе, начало луча не включено) - НЕ ПОДХОДИТ
• 3 < m < 4 (две точки на параболе и ни одной на луче) - ПОДХОДИТ
• m = 3 (одна точка на параболе, ни одной на луче) - НЕ ПОДХОДИТ
• -1 < m < 3 (две точки на параболе, ни одной на луче) - ПОДХОДИТ
• m = -1 (одна точка — вершина параболы) - НЕ ПОДХОДИТ

Таким образом, прямая y = m имеет ровно две общие точки с графиком, когда m находится в интервалах (-1, 3) и (3, 4).

Ответ: m ∈ (-1; 3) ∪ (3; 4)