Постройте график функции \(y=3-\frac{x+2}{x^2+2x}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) не имеет с графиком общих точек.

Область определения: \(x
e0\), \(x
e-2\). Так как \(x^2+2x=x(x+2)\), получаем \(y=3-\frac1x\), но точки \(x=0\) и \(x=-2\) исключены. График — гипербола \(y=3-\frac1x\) с выколотой точкой \((-2;\frac72)\), асимптоты: \(x=0\) и \(y=3\).

Для пересечения с прямой \(y=m\): \(m=3-\frac1x\), поэтому \(x=\frac1{3-m}\), если \(m
e3\). При \(m=3\) пересечений нет. При \(m=\frac72\) найденное значение \(x=-2\), запрещённое областью определения, поэтому пересечений также нет.

Ответ: \(m=3\) или \(m=\frac72\).