2. Постройте график функции $$y = x^2 - 8x + 13$$. Найдите с помощью графика: а) значение $$y$$ при $$x = 1,5$$; б) значения $$x$$, при которых $$y = 2$$; в) нули функции; промежутки, в которых $$y > 0$$ и в которых $$y < 0$$; г) промежуток, в котором функция возрастает.

Чтобы построить график функции $$y = x^2 - 8x + 13$$, найдем вершину параболы и несколько точек для построения. Вершина параболы находится по формуле $$x_v = \frac{-b}{2a}$$, где $$a = 1$$, $$b = -8$$, $$c = 13$$. $$x_v = \frac{-(-8)}{2 * 1} = \frac{8}{2} = 4$$. $$y_v = (4)^2 - 8 * 4 + 13 = 16 - 32 + 13 = -3$$. Вершина параболы $$(4, -3)$$. Теперь найдем несколько точек для построения графика: $$x = 2$$, $$y = (2)^2 - 8 * 2 + 13 = 4 - 16 + 13 = 1$$. $$x = 6$$, $$y = (6)^2 - 8 * 6 + 13 = 36 - 48 + 13 = 1$$. $$x = 0$$, $$y = (0)^2 - 8 * 0 + 13 = 13$$. $$x = 8$$, $$y = (8)^2 - 8 * 8 + 13 = 64 - 64 + 13 = 13$$. Имея вершину и несколько точек, можно построить график. **а) Значение $$y$$ при $$x = 1,5$$** $$y = (1,5)^2 - 8 * 1,5 + 13 = 2,25 - 12 + 13 = 3,25$$. **б) Значения $$x$$, при которых $$y = 2$$** $$x^2 - 8x + 13 = 2$$ $$x^2 - 8x + 11 = 0$$ $$D = (-8)^2 - 4 * 1 * 11 = 64 - 44 = 20$$ $$x_1 = \frac{8 + \sqrt{20}}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{5}}{2} = 4 + \sqrt{5} \approx 6,24$$ $$x_2 = \frac{8 - \sqrt{20}}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{5}}{2} = 4 - \sqrt{5} \approx 1,76$$ **в) Нули функции; промежутки, в которых $$y > 0$$ и в которых $$y < 0$$** Нули функции: $$x^2 - 8x + 13 = 0$$ $$D = (-8)^2 - 4 * 1 * 13 = 64 - 52 = 12$$ $$x_1 = \frac{8 + \sqrt{12}}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{3}}{2} = 4 + \sqrt{3} \approx 5,73$$ $$x_2 = \frac{8 - \sqrt{12}}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{3}}{2} = 4 - \sqrt{3} \approx 2,27$$ $$y > 0$$ при $$x < 4 - \sqrt{3}$$ или $$x > 4 + \sqrt{3}$$. $$y < 0$$ при $$4 - \sqrt{3} < x < 4 + \sqrt{3}$$. **г) Промежуток, в котором функция возрастает** Функция возрастает при $$x > 4$$.