22. Постройте график функции $$y = \begin{cases} x^2 - 10x + 25, & \text{if } x \ge 4 \\ x - 2, & \text{if } x < 4 \end{cases}$$ Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Начнем с построения графика заданной функции. 1. Рассмотрим функцию $$y = x^2 - 10x + 25$$ при $$x \ge 4$$. Это квадратная функция, её график - парабола. Выделим полный квадрат: $$y = (x - 5)^2$$. Вершина параболы находится в точке $$(5, 0)$$. Так как $$x \ge 4$$, мы рассматриваем только часть параболы справа от $$x = 4$$. Когда $$x = 4$$, $$y = (4 - 5)^2 = 1$$. 2. Рассмотрим функцию $$y = x - 2$$ при $$x < 4$$. Это линейная функция, её график - прямая. Когда $$x = 4$$, $$y = 4 - 2 = 2$$. Поскольку $$x < 4$$, эта точка не входит в график, то есть, она является "выколотой". Теперь определим, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки. * Когда $$m > 2$$, прямая $$y = m$$ пересекает параболу дважды. * Когда $$m = 2$$, прямая $$y = 2$$ пересекает параболу один раз и не имеет общих точек с прямой $$y = x - 2$$ (т.к. точка "выколота"). Следовательно, одна общая точка. * Когда $$m = 1$$, прямая $$y = 1$$ пересекает параболу в точке $$(4, 1)$$ и прямую $$y = x - 2$$ в точке $$(3, 1)$$. Получается две общие точки. * Когда $$0 < m < 1$$, прямая $$y = m$$ пересекает параболу дважды, поэтому две общие точки. * Когда $$m = 0$$, прямая $$y = 0$$ пересекает параболу один раз в вершине (5, 0), и не пересекает прямую $$y = x - 2$$. Следовательно, одна общая точка. * Когда $$m < 0$$, прямая $$y = m$$ пересекает только прямую $$y = x - 2$$, поэтому одна общая точка. Итак, прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки, когда $$m = 1$$ или $$m > 2$$. Ответ: $$m = 1$$ или $$m > 2$$