23. Найдите боковую сторону $$AB$$ трапеции $$ABCD$$, если углы $$\angle ABC$$ и $$\angle BCD$$ равны соответственно $$60^\circ$$ и $$135^\circ$$, а $$CD = 36$$.

Обозначим трапецию $$ABCD$$, где $$BC$$ и $$AD$$ - основания. Дано: $$\angle ABC = 60^\circ$$, $$\angle BCD = 135^\circ$$, $$CD = 36$$. 1. Проведем высоту $$CK$$ из точки $$C$$ к прямой $$AB$$. Рассмотрим $$\triangle BCK$$. $$\angle BCK = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ$$. Тогда $$\angle CBK = 60^\circ$$, следовательно $$\angle BKC = 180 - 45 - 60$$. Такого не может быть. Значит, $$CK$$ проведена к $$AD$$. 2. Проведем высоту $$CH$$ из точки $$C$$ к основанию $$AD$$. Рассмотрим четырехугольник $$ABCH$$. Так как $$\angle ABC = 60^\circ$$, то $$\angle BCH = 135^{\circ}$$. 3. Проведем высоту $$CF$$ из точки $$C$$ к прямой $$AB$$. Тогда $$\angle BCF = 135^{\circ}$$. Значит, ошибка в условии задачи. Углы $$ABC$$ и $$BCD$$ не могут быть одновременно $$60^{\circ}$$ и $$135^{\circ}$$. 4. Проведем высоту $$CK$$ из точки $$C$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$\angle DCK = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ$$. Значит, $$\triangle CDK$$ - равнобедренный, и $$DK = CK$$. 5. Проведем высоту $$BH$$ из точки $$B$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$\angle ABH = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$. Пусть $$AB = x$$. Тогда $$AH = AB \cdot \cos(60^\circ) = x/2$$. $$BH = AB \cdot \sin(60^\circ) = \frac{x\sqrt{3}}{2}$$. Так как $$BH = CK$$, то $$DK = \frac{x\sqrt{3}}{2}$$. В трапеции $$BCKH$$, $$BC = HK$$. Тогда $$AD = AH + HK + KD = \frac{x}{2} + BC + \frac{x\sqrt{3}}{2}$$. Не хватает данных для решения задачи. Предположим, что трапеция равнобедренная, тогда $$AB = CD = 36$$. Ответ: 36 (если трапеция равнобедренная)