22. Постройте график функции y=\frac{1}{2}(\frac{|x|}{2,5}-\frac{2,5}{|x|}+\frac{x}{2,5}+\frac{2,5}{x}). Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для начала упростим функцию:

\[y = \frac{1}{2}\left(\frac{|x|}{2.5} - \frac{2.5}{|x|} + \frac{x}{2.5} + \frac{2.5}{x}\right)\]

Учитывая, что \(2.5 = \frac{5}{2}\), можно переписать функцию как:

\[y = \frac{1}{2}\left(\frac{2|x|}{5} - \frac{5}{2|x|} + \frac{2x}{5} + \frac{5}{2x}\right)\]

Рассмотрим два случая: \(x > 0\) и \(x < 0\).

1. Если \(x > 0\), то \(|x| = x\), и функция примет вид:

   \[y = \frac{1}{2}\left(\frac{2x}{5} - \frac{5}{2x} + \frac{2x}{5} + \frac{5}{2x}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{4x}{5}\right) = \frac{2x}{5}\]

2. Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\), и функция примет вид:

   \[y = \frac{1}{2}\left(\frac{-2x}{5} - \frac{5}{-2x} + \frac{2x}{5} + \frac{5}{2x}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{-2x}{5} + \frac{5}{2x} + \frac{2x}{5} + \frac{5}{2x}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{10}{2x}\right) = \frac{5}{2x}\]

Итак, у нас есть две функции:

\[y = \begin{cases} \frac{2x}{5}, & x > 0 \\ \frac{5}{2x}, & x < 0 \end{cases}\]

Теперь рассмотрим прямую \(y = m\). Нам нужно найти такие значения \(m\), при которых прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. При \(x > 0\) функция \(y = \frac{2x}{5}\) - это прямая, проходящая через начало координат. Прямая \(y = m\) пересечет её в одной точке при любом \(m > 0\).

2. При \(x < 0\) функция \(y = \frac{5}{2x}\) - это гипербола. Прямая \(y = m\) пересечет её в одной точке при любом \(m < 0\).

Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку при \(m > 0\) или \(m < 0\). Если \(m = 0\), то общих точек нет.

Теперь нам нужно найти такие значения \(m\), чтобы выполнялось одно из условий: либо \(y = \frac{2x}{5}\), либо \(y = \frac{5}{2x}\).

При \(x > 0\):

\[m = \frac{2x}{5}\]

При \(x < 0\):

\[m = \frac{5}{2x}\]

Так как \(x\) может быть любым положительным или отрицательным числом, то \(m\) может быть любым положительным или отрицательным числом, кроме 0.

Значит, \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку при всех \(m\), кроме \(m = 0\).

Ответ: m \(\in\) (-\(\infty\), 0) \(\cup\) (0, +\(\infty\))

Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай углублять свои знания, и у тебя все получится!