Постройте график функции у={\begin{cases} -x^2-2x-3 \text{ при } x\geq-2, \\ -x-7 \text{ при } x<-2. \end{cases}} Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком две общие точки.

Построим график функции $$y = \begin{cases} -x^2-2x-3, \text{ если } x \ge -2 \\ -x-7, \text{ если } x < -2\end{cases}$$

1. $$y = -x^2-2x-3$$ - парабола, ветви направлены вниз. Найдем вершину параболы: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$$. Так как $$x_v = -1 > -2$$, то вершина параболы входит в рассматриваемый промежуток. $$y(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$$. Итак, вершина параболы в точке $$(-1; -2)$$.

2. Найдем значение функции в точке стыка $$x=-2$$: $$y(-2) = -(-2)^2 - 2(-2) - 3 = -4 + 4 - 3 = -3$$. Точка $$(-2; -3)$$ принадлежит графику.

3. $$y = -x-7$$ - прямая, проходящая через точку $$(-2; -5)$$.

Прямая $$y=m$$ будет иметь две общие точки с графиком функции при $$m \in (-5; -3)$$.

Ответ: $$m \in (-5; -3)$$.