Постройте график функции у={\begin{cases} x^2+6x+9 \text{ при } x\geq-5, \\ \frac{-20}{x} \text{ при } x<-5. \end{cases}} Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки.

Построим график функции $$y = \begin{cases} x^2+6x+9, \text{ если } x \ge -5 \\ \frac{-20}{x}, \text{ если } x < -5\end{cases}$$

1. $$y = x^2+6x+9 = (x+3)^2$$ - парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину параболы: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$$. Так как $$x_v = -3 > -5$$, то вершина параболы входит в рассматриваемый промежуток. $$y(-3) = (-3+3)^2 = 0$$. Итак, вершина параболы в точке $$(-3; 0)$$.

2. Найдем значение функции в точке стыка $$x=-5$$: $$y(-5) = (-5+3)^2 = 4$$. Точка $$(-5; 4)$$ принадлежит графику.

3. $$y = \frac{-20}{x}$$ - гипербола. Найдем значение функции в точке $$x=-5$$: $$y(-5) = \frac{-20}{-5} = 4$$. Точка $$(-5; 4)$$ принадлежит графику.

Прямая $$y=m$$ будет иметь одну или две общие точки с графиком функции при $$m = 0$$ и при $$m > 4$$.

Ответ: $$m = 0$$ и при $$m > 4$$.