1). По рис.РЕ || NK, MP= 8, MN = 12,МЕ= 6. Найти: а). МК; б). РЕ : NK.

1) Рассмотрим рисунок, на котором PE || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6.

а) Необходимо найти MK.

Так как PE || NK, то по теореме Фалеса:

$$ \frac{MP}{PN} = \frac{ME}{EK} $$

Известно, что MN = MP + PN, отсюда PN = MN - MP = 12 - 8 = 4.

Подставим известные значения в пропорцию:

$$ \frac{8}{4} = \frac{6}{EK} $$

Решим пропорцию:

$$ EK = \frac{6 \cdot 4}{8} = 3 $$

MK = ME + EK = 6 + 3 = 9.

б) Необходимо найти PE : NK.

Рассмотрим треугольники MPE и MNK. У них угол M - общий. Так как PE || NK, то углы MPE и MNK равны как соответственные углы при параллельных прямых PE и NK и секущей MN. Следовательно, треугольники MPE и MNK подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что:

$$ \frac{MP}{MN} = \frac{PE}{NK} $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{8}{12} = \frac{PE}{NK} $$

Упростим дробь:

$$ \frac{PE}{NK} = \frac{2}{3} $$

Ответ: а) MK = 9; б) PE : NK = 2/3