4. Плоскость α проходит через ги- потенузу ВС прямоугольного тре- угольника АВС, AB = 20, AC = 15. Угол между плоскостями тре- угольника и α равен 30°. Найдите расстояние от точки А до плоскости α.

Ответ: Расстояние от точки A до плоскости α равно 6.

• В прямоугольном треугольнике ABC, AB = 20, AC = 15.
• По теореме Пифагора, BC = \(\sqrt{AB^2 + AC^2}\) = \(\sqrt{20^2 + 15^2}\) = \(\sqrt{400 + 225}\) = \(\sqrt{625}\) = 25.
• Площадь треугольника ABC равна S = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) AB \(\cdot\) AC = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 20 \(\cdot\) 15 = 150.
• Также площадь треугольника ABC можно выразить как S = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) BC \(\cdot\) h, где h - высота, опущенная из вершины A на гипотенузу BC. 150 = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 25 \(\cdot\) h h = \(\frac{2 \cdot 150}{25}\) = \(\frac{300}{25}\) = 12.
• Пусть A' - проекция точки A на плоскость α. Тогда AA' - расстояние от точки A до плоскости α.
• Угол между плоскостями треугольника и α равен 30°. Это означает, что угол между высотой h и ее проекцией на плоскость α равен 30°.
• Тогда AA' = h \(\cdot\) sin(30°) = 12 \(\cdot\) \(\frac{1}{2}\) = 6.

Ответ: Расстояние от точки A до плоскости α равно 6.