5. Дана правильная четырехугольная пирамида РАВСD, все ребра которой равны. Найдите двугранный угол при ребре CD.

Ответ: Двугранный угол при ребре CD равен 45°.

• Пусть PABCD - правильная четырехугольная пирамида, где все ребра равны.
• Двугранный угол при ребре CD - это угол между плоскостями PCD и ABCD.
• Так как пирамида правильная, то основание ABCD - квадрат.
• Пусть сторона квадрата равна a. Тогда все ребра пирамиды равны a.
• Рассмотрим треугольник PCD. Он равнобедренный, так как PC = PD = a.
• Опустим высоту PE на CD. Тогда PE - медиана и биссектриса треугольника PCD.
• Треугольник PEC - прямоугольный, где PC = a, CE = a/2.
• По теореме Пифагора, PE = \(\sqrt{PC^2 - CE^2}\) = \(\sqrt{a^2 - (a/2)^2}\) = \(\sqrt{a^2 - a^2/4}\) = \(\sqrt{\frac{3a^2}{4}}\) = \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
• Опустим высоту OF из точки O (центр квадрата ABCD) на CD. Тогда OF = a/2.
• Угол между плоскостями PCD и ABCD - это угол между PE и OF.
• Рассмотрим треугольник POE. Он прямоугольный, так как PO перпендикулярна плоскости ABCD.
• Тогда угол между PE и OE равен углу между плоскостями PCD и ABCD.
• Так как PO = \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\), то угол между PE и OE равен 45°.

Ответ: Двугранный угол при ребре CD равен 45°.