173. Площадь прямоугольного треугольника равна 512√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напро- тив этого угла.

Площадь прямоугольного треугольника $$S = \frac{1}{2}ab$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты.

Пусть угол $$\alpha = 30^\circ$$. Тогда катет, лежащий напротив этого угла, обозначим как $$a$$, а катет, прилежащий к углу $$\alpha$$, обозначим как $$b$$.

Известно, что $$\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$$, следовательно, $$b = \frac{a}{\tan(\alpha)}$$.

Подставим это в формулу площади: $$S = \frac{1}{2}a \cdot \frac{a}{\tan(\alpha)} = \frac{a^2}{2 \tan(\alpha)}$$

Выразим отсюда $$a^2$$: $$a^2 = 2S \tan(\alpha)$$.

В нашем случае $$S = 512\sqrt{3}$$, $$\alpha = 30^\circ$$, $$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$.

Тогда $$a^2 = 2 \cdot 512\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1024$$

$$a = \sqrt{1024} = 32$$

Таким образом, длина катета, лежащего напротив угла 30 градусов, равна 32.

Ответ: 32