167. Площадь прямоугольного треугольника равна 800√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

$$S = \frac{1}{2}ab$$

где a и b - катеты прямоугольного треугольника.

Известно, что один из острых углов равен 60°, следовательно, второй острый угол равен 30°.

Пусть катет, лежащий против угла 30°, равен a, тогда катет, лежащий против угла 60°, равен $$a\sqrt{3}$$.

Тогда площадь равна:

$$S = \frac{1}{2}a \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$

Подставим известное значение площади:

$$\frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 800\sqrt{3}$$

Решим уравнение относительно a:

$$a^2 = \frac{2 \cdot 800\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1600$$ $$a = \sqrt{1600} = 40$$

Итак, катет, лежащий против угла 30°, равен 40.

Гипотенузу c можно найти, используя свойство катета, лежащего против угла 30°: он равен половине гипотенузы.

Следовательно,

$$c = 2a = 2 \cdot 40 = 80$$

Ответ: 80