171. Площадь прямоугольного треугольника равна 200√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите 3 длину катета, лежащего напротив этого угла.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

$$S = \frac{1}{2}ab$$

где a и b - катеты прямоугольного треугольника.

Известно, что один из острых углов равен 60°, следовательно, второй острый угол равен 30°.

Пусть катет, лежащий против угла 30°, равен a, тогда катет, лежащий против угла 60°, равен $$a\sqrt{3}$$.

Тогда площадь равна:

$$S = \frac{1}{2}a \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$

Подставим известное значение площади:

$$\frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{200\sqrt{3}}{3}$$

Решим уравнение относительно a:

$$a^2 = \frac{2 \cdot 200\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{400}{3}$$ $$a = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$$

Итак, катет, лежащий против угла 30°, равен $$\frac{20\sqrt{3}}{3}$$.

Катет, лежащий против угла 60°, равен:

$$b = a\sqrt{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{20 \cdot 3}{3} = 20$$

Ответ: 20