Площадь параллелограмма ABCD равна 21. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь треугольника ABE.

Задание

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• Площадь параллелограмма \( S_{ABCD} = 21 \).
• Точка E — середина стороны AD.

Найти: Площадь треугольника ABE \( S_{ABE} \).

Решение:

1. Площадь параллелограмма вычисляется как произведение основания на высоту: \( S_{ABCD} = AD \cdot h \), где h — высота, опущенная на сторону AD.
2. Площадь треугольника ABE вычисляется как половина произведения основания на высоту: \( S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h \).
3. Так как E — середина стороны AD, то \( AE = \frac{1}{2} AD \).
4. Подставим это в формулу площади треугольника ABE: \[ S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} AD) \cdot h \].
5. \( S_{ABE} = \frac{1}{4} \cdot AD \cdot h \).
6. Заменим \( AD \cdot h \) на площадь параллелограмма \( S_{ABCD} \): \[ S_{ABE} = \frac{1}{4} S_{ABCD} \].
7. Подставим значение площади параллелограмма: \[ S_{ABE} = \frac{1}{4} \cdot 21 = \frac{21}{4} = 5.25 \].
8. Другой подход:
• Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника, образованного его диагональю (например, \( S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABD} \)).
• \( S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{21}{2} = 10.5 \).
• В треугольнике ABD, BE является медианой, так как E — середина AD. Медиана делит треугольник на два равновеликих по площади треугольника: \( S_{ABE} = S_{BED} \).
• Следовательно, \( S_{ABE} = \frac{1}{2} S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 10.5 = 5.25 \).

Ответ: 5.25.