1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, sin A = 7/25. Найдите AC.

Задание 1

Дано:

• Треугольник ABC.
• \( \angle C = 90^{\circ} \).
• \( AB = 5 \).
• \( \sin A = \frac{7}{25} \).

Найти: AC.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB): \[ \sin A = \frac{BC}{AB} \].
2. Подставим известные значения: \[ \frac{7}{25} = \frac{BC}{5} \].
3. Найдем длину катета BC: \[ BC = 5 \cdot \frac{7}{25} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5} = 1.4 \].
4. Теперь используем теорему Пифагора для нахождения катета AC: \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \].
5. Подставим значения: \[ AC^2 + (1.4)^2 = 5^2 \].
6. \( AC^2 + 1.96 = 25 \).
7. \( AC^2 = 25 - 1.96 = 23.04 \).
8. Найдем AC: \[ AC = \sqrt{23.04} \].
9. Чтобы извлечь корень, можно представить 23.04 как \( \frac{2304}{100} \). \( \sqrt{2304} = 48 \) (так как \( 48^2 = 2304 \)).
10. \( AC = \frac{48}{10} = 4.8 \).
11. Альтернативный способ через косинус:
• Сначала найдем \( \cos A \). \( \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625} \).
• \( \cos A = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25} \) (так как угол A острый, косинус положительный).
• В прямоугольном треугольнике ABC, косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB): \[ \cos A = \frac{AC}{AB} \].
• Подставим значения: \[ \frac{24}{25} = \frac{AC}{5} \].
• Найдем AC: \[ AC = 5 \cdot \frac{24}{25} = \frac{120}{25} = \frac{24}{5} = 4.8 \].

Ответ: 4.8.