Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 80°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Задание

Дано:

• Окружность с центром O.
• AC и BD — диаметры.
• \( \angle ACB = 80^{\circ} \).

Найти: \( \angle AOD \).

Решение:

1. Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается: \( \stackrel{\frown}{AB} = 2 \cdot \angle ACB \).
2. \( \stackrel{\frown}{AB} = 2 \cdot 80^{\circ} = 160^{\circ} \).
3. Угол AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD. Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается: \( \angle AOD = \stackrel{\frown}{AD} \).
4. AC — диаметр, поэтому дуга ABC равна 180°. \( \stackrel{\frown}{ABC} = \stackrel{\frown}{AB} + \stackrel{\frown}{BC} = 180^{\circ} \).
5. \( \stackrel{\frown}{BC} = 180^{\circ} - \stackrel{\frown}{AB} = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ} \).
6. BD — диаметр, поэтому дуга BCD равна 180°. \( \stackrel{\frown}{BCD} = \stackrel{\frown}{BC} + \stackrel{\frown}{CD} = 180^{\circ} \).
7. \( \stackrel{\frown}{CD} = 180^{\circ} - \stackrel{\frown}{BC} = 180^{\circ} - 20^{\circ} = 160^{\circ} \).
8. Проверка: Дуга ADC равна 180°. \( \stackrel{\frown}{AD} = 180^{\circ} - \stackrel{\frown}{CD} = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ} \).
9. Нет, это неверно.
10. Второй подход:
• Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB. \( \stackrel{\frown}{AB} = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 80^{\circ} = 160^{\circ} \).
• Угол ADB — вписанный, опирается на ту же дугу AB. \( \angle ADB = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \times 160^{\circ} = 80^{\circ} \).
• AC и BD — диаметры, пересекаются в центре O.
• Рассмотрим треугольник OBC. OB = OC (радиусы), значит, треугольник равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB = ​\angle ACB = 80^{\circ} \).
• \( \angle BOC = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 80^{\circ}) = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ} \).
• \( \angle BOC \) — центральный угол, опирается на дугу BC. Значит, \( \stackrel{\frown}{BC} = 20^{\circ} \).
• \( \angle AOD \) — центральный угол, вертикальный с \( \angle BOC \).
• Следовательно, \( \angle AOD = \angle BOC = 20^{\circ} \).
• Проверка:
• \( \angle ACB = 80^{\circ} \), значит, \( \stackrel{\frown}{AB} = 160^{\circ} \).
• AC — диаметр, значит, \( \stackrel{\frown}{ABC} = 180^{\circ} \). \( \stackrel{\frown}{BC} = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ} \).
• BD — диаметр, значит, \( \stackrel{\frown}{BCD} = 180^{\circ} \). \( \stackrel{\frown}{CD} = 180^{\circ} - \stackrel{\frown}{BC} = 180^{\circ} - 20^{\circ} = 160^{\circ} \).
• \( \angle AOD \) — центральный угол, опирается на дугу AD.
• \( \stackrel{\frown}{AD} = 180^{\circ} - \stackrel{\frown}{CD} = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ} \).
• \( \angle AOD = \stackrel{\frown}{AD} = 20^{\circ} \).

Ответ: 20.