Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м², а площадь основания 5 м². Найдите высоту цилиндра.

Решение:

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник. Его площадь \( S_{сеч} = d \cdot H \), где \( d \) — диаметр основания, \( H \) — высота цилиндра.

Площадь основания цилиндра равна площади круга: \( S_{осн} = \pi r^2 \).

Из условия \( S_{осн} = 5 \) м², значит \( \pi r^2 = 5 \) м².

Диаметр основания \( d = 2r \). Следовательно, \( d^2 = (2r)^2 = 4r^2 \).

Из площади основания: \( r^2 = \frac{5}{\pi} \) м².

Тогда \( d^2 = 4 \cdot \frac{5}{\pi} = \frac{20}{\pi} \) м².

Диаметр \( d = \sqrt{\frac{20}{\pi}} = 2\sqrt{\frac{5}{\pi}} \) м.

Площадь осевого сечения \( S_{сеч} = 10 \) м².

\( d \cdot H = 10 \)

\( H = \frac{10}{d} = \frac{10}{2\sqrt{\frac{5}{\pi}}} = \frac{5}{\sqrt{\frac{5}{\pi}}} = 5 \sqrt{\frac{\pi}{5}} = \sqrt{25 \cdot \frac{\pi}{5}} = \sqrt{5\pi} \) м.

Сравним с вариантами ответа:

а) \( \pi \) см²;

б) \( 2\pi \) м;

в) \( \sqrt{5\pi} \) м;

г) \( \sqrt{3\pi} \) м.

Наш результат \( H = \sqrt{5\pi} \) м совпадает с вариантом в).

Ответ: в) \( \sqrt{5\pi} \) м.