§ 35. ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 35.1. 1) Докажите, что изображенные на рисунке 147 треуголь вики подобны. 2) Продолжения боковых сторон трапеция ABCD (рис. 148) пересекаются в точке О. Найдите ВО и отно шение площадей треугольников ВОС и AOD, если AD 5 см. ВС = 2 см. АО = 25 см.

1. Рассмотрим рисунок 147. Даны два треугольника АВС и A₁B₁C₁. Угол A = углу A₁ = 40°. Известны стороны АВ = 4, AC = 3 и A₁B₁ = 8, A₁C₁ = 6. Проверим пропорциональность сторон:$$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников.
2. Дана трапеция ABCD, продолжения боковых сторон которой пересекаются в точке О. ВС = 2 см, AD = 5 см, АО = 25 см. Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (∠BOC = ∠AOD как вертикальные, ∠OBC = ∠ODA как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD). Из подобия следует:$$\frac{BO}{AO} = \frac{BC}{AD}$$ $$\frac{BO}{25} = \frac{2}{5}$$ $$BO = \frac{2 \cdot 25}{5} = 10 \text{ см}$$ Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:$$\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = \left(\frac{BC}{AD}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$$

Ответ: BO = 10 см, отношение площадей треугольников ВОС и AOD равно 4/25.