ABD BCD, если навестно, что они подобны, 2) Докажите, что если медиака и высота, проведенные из одной вершины треугольника, делят его угол на три рав вые части, то этот треугольник прямоугольный.

Данное задание содержит два утверждения, которые требуется доказать.

1. Для доказательства подобия треугольников ABD и BCD необходимо установить, что их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны. Без дополнительных данных доказать это невозможно. Не хватает информации.
2. Если медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины, делят угол на три равные части, то треугольник прямоугольный.
   1. Пусть дан треугольник ABC, в котором медиана BM и высота BH делят угол B на три равные части, то есть ∠ABH = ∠MBH = ∠MBC = x.
   2. Так как BH - высота, то ∠AHB = 90°. Тогда ∠ABH = x, следовательно, ∠BAH = 90° - x.
   3. Так как BM - медиана, то AM = MC.
   4. Рассмотрим треугольник ABM. В нем ∠ABM = 2x. По теореме синусов имеем:$$\frac{AM}{\sin(2x)} = \frac{AB}{\sin(∠AMB)}$$
   5. Рассмотрим треугольник ABC. В нем ∠ABC = 3x. По теореме синусов имеем:$$\frac{AC}{\sin(3x)} = \frac{AB}{\sin(∠ACB)}$$
   6. Так как AM = MC, то AC = 2AM. Следовательно, $$\frac{2AM}{\sin(3x)} = \frac{AB}{\sin(∠ACB)}$$
   7. Из уравнений (1) и (2) выразим AM:$$\frac{AB \sin(2x)}{\sin(∠AMB)} = \frac{AB \sin(3x)}{2\sin(∠ACB)}$$
   8. Отсюда следует: $$\frac{\sin(2x)}{\sin(∠AMB)} = \frac{\sin(3x)}{2\sin(∠ACB)}$$
   9. Если ∠AMB = 90°, то треугольник ABM - прямоугольный, и sin(∠AMB) = 1. Тогда:$$\sin(2x) = \frac{\sin(3x)}{2\sin(∠ACB)}$$
   10. Если ∠ACB = 90°, то sin(∠ACB) = 1. Тогда:$$\sin(2x) = \frac{\sin(3x)}{2}$$
   11. Используя тригонометрические формулы, получим:$$2\sin(x)\cos(x) = \frac{3\sin(x) - 4\sin^3(x)}{2}$$
   12. Сократим на sin(x) (предполагая, что sin(x) ≠ 0):$$2\cos(x) = \frac{3 - 4\sin^2(x)}{2}$$
   13. $$4\cos(x) = 3 - 4(1 - \cos^2(x))$$
   14. $$4\cos(x) = 3 - 4 + 4\cos^2(x)$$ $$4\cos^2(x) - 4\cos(x) - 1 = 0$$
   15. Решая квадратное уравнение относительно cos(x), получим:$$\cos(x) = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$$
   16. Так как cos(x) должен быть положительным и меньше 1, то:$$\cos(x) = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$$ Этот случай невозможен, так как косинус острого угла не может быть отрицательным.
   17. Рассмотрим случай, когда ∠BAC = 90°. В этом случае высота BH совпадает со стороной BA, и ∠ABH = 0, что противоречит условию задачи.

Доказать, что данный треугольник прямоугольный, невозможно.

Ответ: недостаточно данных.