135.3. 1) Докажите, что изображенные на рисунке 151 треуголь ники подобны. 2) Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ И ВС соответственно в точках м и Н. Найдите АС и отношение площадей треугольников АВС и ВМН, если МВ = 14 см, АВ = 16 см, МН = 28 см.

1. На рисунке 151 не изображены треугольники, невозможно доказать их подобие.
2. Прямая MH || AC, M ∈ AB, H ∈ BC. Треугольники ABC и MBH подобны по двум углам (∠B - общий, ∠BAC = ∠BMH как соответственные при параллельных прямых AC и MH и секущей AB). Из подобия следует:$$\frac{AC}{MH} = \frac{AB}{MB}$$$$\frac{AC}{28} = \frac{16}{14}$$ $$AC = \frac{16 \cdot 28}{14} = 32 \text{ см}$$ Коэффициент подобия:$$k = \frac{MB}{AB} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$$ Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:$$\frac{S_{ABC}}{S_{BMH}} = \left(\frac{AB}{MB}\right)^2 = \left(\frac{8}{7}\right)^2 = \frac{64}{49}$$

Ответ: AC = 32 см, отношение площадей треугольников АВС и ВМН равно 64/49.