Решение задачи №20:

Пусть ABCD - данный прямоугольник, P = 30 см, AM и DM - биссектрисы углов A и D, точка M ∈ BC.

Так как AM и DM - биссектрисы углов A и D, то ∠BAM = ∠MAD = ∠BAD / 2 = 90° / 2 = 45° и ∠CDM = ∠MDA = ∠CDA / 2 = 90° / 2 = 45°.

Рассмотрим треугольник ABM. Так как ∠BAM = 45° и ∠ABM = 90°, то ∠BMA = 180° - ∠BAM - ∠ABM = 180° - 45° - 90° = 45°. Следовательно, треугольник ABM равнобедренный, и AB = BM.

Аналогично, рассмотрим треугольник CDM. Так как ∠CDM = 45° и ∠DCM = 90°, то ∠CMD = 180° - ∠CDM - ∠DCM = 180° - 45° - 90° = 45°. Следовательно, треугольник CDM равнобедренный, и CD = CM.

По условию, точка M лежит на стороне BC, поэтому BC = BM + CM = AB + CD.

Периметр прямоугольника ABCD равен P = 2(AB + BC). Подставим BC = AB + CD:

$$30 = 2(AB + AB + CD)$$. Так как AB = CD:

$$30 = 2(2AB + AB) = 2(3AB) = 6AB$$

$$AB = rac{30}{6} = 5 см$$

Следовательно, AB = CD = 5 см.

BC = AB + CD = 5 + 5 = 10 см.

AD = BC = 10 см.

Ответ: Стороны прямоугольника: AB = CD = 5 см, BC = AD = 10 см.