149 Отрезки АВ и CD - диаметры окруж-ности. Докажите свойства хорд: а) хорды ВД и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

Докажем свойства хорд, если отрезки AB и CD - диаметры окружности:

1. а) Хорды BD и AC равны.
2. б) Хорды AD и BC равны.
3. в) ∠BAD = ∠BCD.

Доказательство:

1. Рассмотрим пункт а).
2. Углы ∠ABD и ∠ACD - прямые, так как опираются на диаметр (∠ABD = ∠ACD = 90°).
3. Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔACD:
4. AD - общая сторона.
5. AB = CD (как диаметры).
6. ∠ABD = ∠ACD = 90°
7. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по гипотенузе и острому углу).
8. Из равенства треугольников следует равенство сторон: BD = AC.
9. Следовательно, хорды BD и AC равны.
10. Рассмотрим пункт б).
11. Аналогично пункту а) доказывается равенство треугольников ΔABC и ΔABD (по гипотенузе и острому углу).
12. Из равенства треугольников следует равенство сторон: AD = BC.
13. Следовательно, хорды AD и BC равны.
14. Рассмотрим пункт в).
15. ∠BAD и ∠BCD - вписанные углы, опирающиеся на равные хорды BD и AC соответственно (из пункта а).
16. Вписанные углы, опирающиеся на равные хорды, равны.
17. Следовательно, ∠BAD = ∠BCD.

Ответ: доказано, что если отрезки AB и CD - диаметры окружности, то хорды BD и AC равны, хорды AD и BC равны, ∠BAD = ∠BCD.