Основания прямоугольной трапеции равны 9 см и 17 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции.

Дано: Прямоугольная трапеция ABCD, AB || CD, $$\angle B = \angle C = 90^\circ$$. Основания BC = 9 см, AD = 17 см. Диагональ AC - биссектриса $$\angle DAB$$.

Найти: Площадь трапеции ABCD.

Решение:

1. Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. В прямоугольной трапеции высота равна боковой стороне, перпендикулярной основаниям, то есть BH = BC = 9 см.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle ABH$$. AB = BH = 9 см.
3. Так как AC - биссектриса $$\angle DAB$$, то $$\angle DAC = \angle CAB$$.
4. Поскольку AB || AD, то $$\angle CAB = \angle ACD$$ (как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AC).
5. Тогда $$\angle DAC = \angle ACD$$. Это означает, что $$\triangle ADC$$ - равнобедренный, но в условии сказано, что трапеция прямоугольная.
6. Пересмотрим условие: основания равны 9 см и 17 см. Диагональ является биссектрисой тупого угла. Тупой угол в прямоугольной трапеции - это угол при большем основании, не прямой. В данном случае, это $$\angle DAB$$.
7. Пусть BC = 9 см, AD = 17 см. AB - высота.
8. Так как AC - биссектриса $$\angle DAB$$, то $$\angle DAC = \angle CAB$$.
9. Так как BC || AD, то $$\angle ACB = \angle DAC$$ (накрест лежащие).
10. Следовательно, $$\angle CAB = \angle ACB$$. Это означает, что $$\triangle ABC$$ - равнобедренный, и AB = BC = 9 см.
11. Теперь мы знаем высоту трапеции AB = 9 см.
12. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a+b}{2}  h$$, где a и b - основания, h - высота.
13. $$S = \frac{9 + 17}{2}  9$$.
14. $$S = \frac{26}{2}  9$$.
15. $$S = 13  9$$.
16. $$S = 117$$ см$$^2$$.

Ответ: 117 см$$^2$$