4. Основанием пирамиды ДАВС является треугольник АВС, у которого АВ=АС=13см, ВС=10см. Ребро АД перпендикулярно к плоскости основания и равно 9см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

1) Рассмотрим пирамиду ДАВС, основанием которой является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см. Ребро АД перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Необходимо найти площадь боковой поверхности пирамиды.

2) Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней.

3) Найдем площадь треугольника АВС. Проведем высоту АН. Т.к. треугольник АВС равнобедренный, то АН является и медианой. Тогда ВН = НС = 5 см. По теореме Пифагора из треугольника АВН:

$$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$.

Тогда площадь треугольника АВС $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2$$.

4) Найдем площадь треугольника АДС. Т.к. ребро АД перпендикулярно к плоскости основания, то АД перпендикулярно DC и DB. Треугольник АДС - прямоугольный. $$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DC$$. Найдем DC. По теореме Пифагора из треугольника AHC:

$$AC^2 = AH^2 + HC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$$.

Тогда $$AC = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$.

По теореме Пифагора из треугольника АДС:

$$DC = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{13^2 + 9^2} = \sqrt{169 + 81} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} \text{ см}$$.

Тогда $$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 5\sqrt{10} = \frac{45\sqrt{10}}{2} \approx \frac{45 \cdot 3.16}{2} = \frac{142.2}{2} = 71.1 \text{ см}^2$$.

5) Найдем площадь треугольника АДВ. Т.к. ребро АД перпендикулярно к плоскости основания, то АД перпендикулярно DB. Треугольник АДВ - прямоугольный. $$S_{ADB} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DB$$.

По теореме Пифагора из треугольника АДВ:

$$DB = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{13^2 + 9^2} = \sqrt{169 + 81} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} \text{ см}$$.

Тогда $$S_{ADB} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 5\sqrt{10} = \frac{45\sqrt{10}}{2} \approx \frac{45 \cdot 3.16}{2} = \frac{142.2}{2} = 71.1 \text{ см}^2$$.

6) Найдем площадь треугольника ВДС. Проведем высоту ДН к стороне ВС. Т.к. треугольник ВДС равнобедренный, то ВН = НС = 5 см. По теореме Пифагора из треугольника АДС:

$$DH = \sqrt{AD^2 + AH^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$.

Тогда $$S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15 = 75 \text{ см}^2$$.

7) Площадь боковой поверхности равна:

$$S_{\text{бок}} = S_{ADC} + S_{ADB} + S_{BDC} = 71.1 + 71.1 + 75 = 217.2 \text{ см}^2$$.

Ответ: 217.2 см²