1) Определите, является ли функция F(х) первообразной для функции f(x), если: a) F(x) = 0,3x¹⁰ + 2x⁷-4x, f(x) = 3x⁹ +14x⁶ -4 б) F(x)=\frac{7}{x⁴}+\frac{x}{4}+\frac{x⁵}{5}, f(x) = -\frac{7}{x} + x² - \frac{10}{x}

Ответ: a) да, б) нет

Решение:

• a) Проверим, является ли F(x) = 0.3x¹⁰ + 2x⁷ - 4x первообразной для f(x) = 3x⁹ + 14x⁶ - 4:

Найдём производную F(x):

\[F'(x) = (0.3x^{10})' + (2x^7)' - (4x)' = 0.3 \cdot 10x^9 + 2 \cdot 7x^6 - 4 = 3x^9 + 14x^6 - 4\]

Так как F'(x) = 3x⁹ + 14x⁶ - 4 = f(x), то F(x) является первообразной для f(x).

• б) Проверим, является ли F(x) = \(\frac{7}{x^4} + \frac{x}{4} + \frac{x^5}{5}\) первообразной для f(x) = \(-\frac{7}{x} + x^2 - \frac{10}{x}\):

Представим F(x) как:

\[F(x) = 7x^{-4} + \frac{1}{4}x + \frac{1}{5}x^5\]

Найдём производную F(x):

\[F'(x) = (7x^{-4})' + (\frac{1}{4}x)' + (\frac{1}{5}x^5)' = 7 \cdot (-4)x^{-5} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \cdot 5x^4 = -28x^{-5} + \frac{1}{4} + x^4\]

Или:

\[F'(x) = -\frac{28}{x^5} + \frac{1}{4} + x^4\]

Так как F'(x) = \(-\frac{28}{x^5} + \frac{1}{4} + x^4\) ≠ f(x) = \(-\frac{7}{x} + x^2 - \frac{10}{x}\), то F(x) не является первообразной для f(x).

Ответ: a) да, б) нет