2) Найдите хотя бы одну первообразную для заданной функции f(x), сделайте проверку: a) f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+8x б) f(x)=x⁴-\frac{4}{x⁴} в) f(x)=7cosx-2eˣ г) f(x) = \frac{2}{sin²x}-\frac{3}{x} д) f(x) = \frac{2}{x²+7}

Ответ: a) 2√x + 4x² + C, б) \(\frac{x^5}{5} + \frac{4}{3x^3} + C\), в) 7sinx - 2eˣ + C, г) -2ctgx - 3ln|x| + C

Решение:

• a) Найдём первообразную для f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{x}} + 8x\)

Представим f(x) как:

\[f(x) = x^{-\frac{1}{2}} + 8x\]

Первообразная F(x) будет:

\[F(x) = \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + \frac{8x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + \frac{8x^2}{2} + C = 2\sqrt{x} + 4x^2 + C\]

Проверка:

\[F'(x) = (2\sqrt{x} + 4x^2 + C)' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + 4 \cdot 2x + 0 = \frac{1}{\sqrt{x}} + 8x = f(x)\]

• б) Найдём первообразную для f(x) = x⁴ - \(\frac{4}{x⁴}\)

Представим f(x) как:

\[f(x) = x^4 - 4x^{-4}\]

Первообразная F(x) будет:

\[F(x) = \frac{x^{4+1}}{4+1} - \frac{4x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^5}{5} - \frac{4x^{-3}}{-3} + C = \frac{x^5}{5} + \frac{4}{3x^3} + C\]

Проверка:

\[F'(x) = (\frac{x^5}{5} + \frac{4}{3x^3} + C)' = \frac{5x^4}{5} + \frac{4}{3} \cdot (-3)x^{-4} + 0 = x^4 - 4x^{-4} = x^4 - \frac{4}{x^4} = f(x)\]

• в) Найдём первообразную для f(x) = 7cosx - 2eˣ

Первообразная F(x) будет:

\[F(x) = 7sinx - 2e^x + C\]

Проверка:

\[F'(x) = (7sinx - 2e^x + C)' = 7cosx - 2e^x + 0 = 7cosx - 2e^x = f(x)\]

• г) Найдём первообразную для f(x) = \(\frac{2}{sin²x} - \frac{3}{x}\)

Первообразная F(x) будет:

\[F(x) = -2ctgx - 3ln|x| + C\]

Проверка:

\[F'(x) = (-2ctgx - 3ln|x| + C)' = \frac{2}{sin^2x} - \frac{3}{x} + 0 = \frac{2}{sin^2x} - \frac{3}{x} = f(x)\]

Ответ: a) 2√x + 4x² + C, б) \(\frac{x^5}{5} + \frac{4}{3x^3} + C\), в) 7sinx - 2eˣ + C, г) -2ctgx - 3ln|x| + C