3) Для функции f(x) = 3x² – 7x +2 найдите ту первообразную, график которой проходит через точку (-1; 3)

Ответ: F(x) = x³ - 3.5x² + 2x + 7.5

Решение:

• Шаг 1: Найдём общую первообразную F(x) для f(x) = 3x² - 7x + 2:

Интегрируем f(x):

\[F(x) = \int (3x^2 - 7x + 2) dx = x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 2x + C\]

• Шаг 2: Используем точку (-1; 3) для нахождения C:

Подставляем x = -1 и F(-1) = 3 в уравнение:

\[3 = (-1)^3 - \frac{7}{2}(-1)^2 + 2(-1) + C\] \[3 = -1 - \frac{7}{2} - 2 + C\] \[3 = -3 - \frac{7}{2} + C\] \[C = 3 + 3 + \frac{7}{2} = 6 + \frac{7}{2} = \frac{12}{2} + \frac{7}{2} = \frac{19}{2} = 9.5\]

• Шаг 3: Запишем окончательную первообразную:

Подставляем C = 9.5 в общую первообразную:

\[F(x) = x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 2x + 9.5 = x^3 - 3.5x^2 + 2x + 9.5\]

Ответ: F(x) = x³ - 3.5x² + 2x + 7.5