Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

где:

• $$l$$ - длина нити маятника,
• $$g$$ - ускорение свободного падения.

Пусть $$T_1$$ и $$T_2$$ - периоды колебаний первого и второго маятников, соответственно. Тогда:

$$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}$$ $$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}$$

По условию задачи, за одинаковый промежуток времени $$\Delta t$$ первый маятник совершает $$N_1$$ колебаний, а второй $$N_2$$ колебаний. Тогда:

$$\Delta t = N_1 T_1 = N_2 T_2$$

Выразим отношение периодов:

$$\frac{T_1}{T_2} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Подставим выражения для периодов:

$$\frac{2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}}{2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}} = \frac{1}{2}$$ $$\sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \frac{1}{2}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{4}$$

Тогда отношение длин нитей:

$$\frac{l_2}{l_1} = 4$$

Ответ: Длина нити второго маятника в 4 раза больше длины нити первого маятника.