Определите промежутки возрастания и убывания функции: \(y=\frac{x^3}{x^2+25}\).

Так как \(x^2+25>0\) при любом действительном \(x\), область определения функции: \(\mathbb R\).

Найдём производную:

\[y'=\frac{3x^2(x^2+25)-x^3\cdot2x}{(x^2+25)^2}=\frac{x^4+75x^2}{(x^2+25)^2}.\]

Поскольку \(x^4+75x^2\ge0\), то \(y'\ge0\) на всей числовой прямой. Функция возрастает на всей области определения.

Ответ: возрастает — \((-\infty;+\infty)\); убывает — нигде.