4. Один из катетов прямоугольного треугольника на 7 см больше другого, а гипотенуза равна 17 см. Найдите катеты этого треугольника.

Ответ: 8 см и 15 см

Пусть один катет равен x см, тогда другой катет равен (x + 7) см. Гипотенуза равна 17 см. По теореме Пифагора:

\[x^2 + (x+7)^2 = 17^2\]

Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:

\[x^2 + x^2 + 14x + 49 = 289\]\[2x^2 + 14x + 49 - 289 = 0\]\[2x^2 + 14x - 240 = 0\]

Делим уравнение на 2:

\[x^2 + 7x - 120 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-120) = 49 + 480 = 529\]\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{529}}{2(1)} = \frac{-7 \pm 23}{2}\]

Получаем два корня:

\[x_1 = \frac{-7 + 23}{2} = \frac{16}{2} = 8\]\[x_2 = \frac{-7 - 23}{2} = \frac{-30}{2} = -15\]

Так как длина катета не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:

\[x = 8\]

Тогда другой катет равен:

\[x + 7 = 8 + 7 = 15\]

Ответ: 8 см и 15 см