5. Один из катетов прямоугольного треугольника на 24 см больше другого, а гипотенуза равна 8√/17 см. Найдите катеты этого треугольника.

Ответ: 8 см и 32 см

Пусть один катет равен x см, тогда другой катет равен (x + 24) см. Гипотенуза равна 8\sqrt{17} см. По теореме Пифагора:

\[x^2 + (x+24)^2 = (8\sqrt{17})^2\]

Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:

\[x^2 + x^2 + 48x + 576 = 64 \cdot 17\]\[2x^2 + 48x + 576 = 1088\]\[2x^2 + 48x - 512 = 0\]

Делим уравнение на 2:

\[x^2 + 24x - 256 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4(1)(-256) = 576 + 1024 = 1600\]\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 \pm \sqrt{1600}}{2(1)} = \frac{-24 \pm 40}{2}\]

Получаем два корня:

\[x_1 = \frac{-24 + 40}{2} = \frac{16}{2} = 8\]\[x_2 = \frac{-24 - 40}{2} = \frac{-64}{2} = -32\]

Так как длина катета не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:

\[x = 8\]

Тогда другой катет равен:

\[x + 24 = 8 + 24 = 32\]

Ответ: 8 см и 32 см