5. Несмачиваемый кубик плавает на поверхности воды. Найдите глубину погружения кубика: 1) без учета силы поверхностного натяжения; 2) с учетом силы поверхностного натяжения. Масса кубика 3 г, длина его ребра 20 мм. [7,5 мм; 6 мм]

Физическая задача: определение глубины погружения кубика в воду.

Дано:

• Масса кубика: $$m = 3 \text{ г} = 0.003 \text{ кг}$$
• Длина ребра кубика: $$a = 20 \text{ мм} = 0.02 \text{ м}$$
• Плотность воды: $$\rho = 1000 \text{ кг/м}^3$$
• Поверхностное натяжение воды: $$\sigma = 73 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м}$$

Найти:

• Глубину погружения без учета силы поверхностного натяжения: $$h_1$$
• Глубину погружения с учетом силы поверхностного натяжения: $$h_2$$

Решение:

1) Без учета силы поверхностного натяжения:

Кубик плавает, следовательно, сила тяжести уравновешивается силой Архимеда:

$$ mg = \rho V_{погр} g $$

Где $$V_{погр}$$ - объем погруженной части кубика.

$$ V_{погр} = a^2 h_1 $$

Тогда

$$ mg = \rho a^2 h_1 g $$ $$ h_1 = \frac{m}{\rho a^2} = \frac{0.003 \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot (0.02 \text{ м})^2} = \frac{0.003}{1000 \cdot 0.0004} = \frac{0.003}{0.4} = 0.0075 \text{ м} = 7.5 \text{ мм} $$

2) С учетом силы поверхностного натяжения:

В этом случае сила тяжести уравновешивается силой Архимеда и силой поверхностного натяжения, действующей по периметру кубика:

$$ mg = \rho V_{погр} g + \sigma P $$

Где $$P$$ - периметр кубика, контактирующего с водой:

$$ P = 4a = 4 \cdot 0.02 \text{ м} = 0.08 \text{ м} $$

Тогда

$$ mg = \rho a^2 h_2 g + \sigma (4a) $$ $$ h_2 = \frac{m - 4a\sigma}{\rho a^2} = \frac{0.003 \text{ кг} - 4 \cdot 0.02 \text{ м} \cdot 73 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot (0.02 \text{ м})^2} = \frac{0.003 - 0.00584}{0.4} = \frac{-0.00284}{0.4} = -0.0071 \text{ м} ≈ -7.1 \text{ мм} $$

Знак минус указывает на то, что сила поверхностного натяжения направлена вверх и уменьшает глубину погружения.

Так как кубик не смачиваемый, то $$h_2$$ =

$$ h_2 = \frac{m}{\rho a^2} - \frac{4 \sigma}{\rho a} = 0,0075 - \frac{4*0,073}{1000*0,02} = 0,0075 - 0,0146 = -0,0071 м. $$

Глубина погружения

$$ h_2 = 7,5 - 7,1 = 0,4 мм, $$

а высота подъема

$$ h = 7,1 + 0,4 = 7,5 мм. $$

По условию кубик не смачивается.

$$ h = \frac{2\sigma}{\rho g a} = \frac{2*0,073}{1000*9,8*0,02} = 0,000745 м = 0,745мм $$ $$ h_2 = 7,5 -0,745 = 6,755 мм. $$

Ответ: 7,5 мм; 6,755 мм.