1. Докажите, что при слиянии нескольких капель воды в одну, происходящем при постоянной температуре, выделяется энергия. Для доказательства следует сравнить между собой поверхностную энергию всех мелких капель и одной крупной. Объем сферы, радиус которой R, равен V = 4/3 πR³, площадь ее поверхности 4πR².

Доказательство выделения энергии при слиянии капель воды.

При слиянии нескольких мелких капель воды в одну большую каплю при постоянной температуре происходит выделение энергии. Это связано с уменьшением общей площади поверхности. Чтобы доказать это, нужно сравнить поверхностную энергию всех мелких капель с поверхностной энергией одной большой капли, образовавшейся после слияния.

Пусть имеется n мелких капель воды, каждая радиусом r. Тогда общий объем всех мелких капель будет равен:

$$ V_{мел} = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 $$

После слияния образуется одна большая капля радиусом R, объем которой равен:

$$ V_{бол} = \frac{4}{3} \pi R^3 $$

Так как объем воды сохраняется, то

$$ V_{мел} = V_{бол} $$ $$ n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3 $$

Отсюда находим радиус большой капли:

$$ R = r \cdot \sqrt[3]{n} $$

Площадь поверхности всех мелких капель:

$$ S_{мел} = n \cdot 4 \pi r^2 $$

Площадь поверхности большой капли:

$$ S_{бол} = 4 \pi R^2 = 4 \pi (r \cdot \sqrt[3]{n})^2 = 4 \pi r^2 \cdot n^{\frac{2}{3}} $$

Сравним площади поверхностей:

$$ \frac{S_{мел}}{S_{бол}} = \frac{n \cdot 4 \pi r^2}{4 \pi r^2 \cdot n^{\frac{2}{3}}} = \frac{n}{n^{\frac{2}{3}}} = n^{\frac{1}{3}} $$

Так как $$n > 1$$, то

$$ n^{\frac{1}{3}} > 1 $$

Следовательно,

$$ S_{мел} > S_{бол} $$

Поверхностная энергия пропорциональна площади поверхности. Таким образом, поверхностная энергия всех мелких капель больше поверхностной энергии большой капли. Разница в энергиях выделяется при слиянии.

Ответ: доказано, что при слиянии нескольких капель воды в одну выделяется энергия.