5. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у = 3 - 2х и графиком функции у = x² + 3x - 3

Решение

• Шаг 1: Находим точки пересечения графиков функций:

Приравниваем уравнения функций, чтобы найти точки их пересечения:

\[3 - 2x = x^2 + 3x - 3\] \[x^2 + 3x - 3 - 3 + 2x = 0\] \[x^2 + 5x - 6 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: D = b² - 4ac = 5² - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49

Корни: x₁ = (-b + \(\sqrt{D}\))/2a = (-5 + \(\sqrt{49}\))/2 \cdot 1 = (-5 + 7)/2 = 1

x₂ = (-b - \(\sqrt{D}\))/2a = (-5 - \(\sqrt{49}\))/2 \cdot 1 = (-5 - 7)/2 = -6

Таким образом, точки пересечения имеют x-координаты: x₁ = 1 и x₂ = -6.

• Шаг 2: Вычисляем площадь фигуры, используя интеграл:

Площадь фигуры между графиками функций y₁ = 3 - 2x и y₂ = x² + 3x - 3 вычисляется как интеграл от разности этих функций на интервале от -6 до 1:

\[S = \int_{-6}^{1} ((3 - 2x) - (x^2 + 3x - 3)) dx\] \[S = \int_{-6}^{1} (3 - 2x - x^2 - 3x + 3) dx\] \[S = \int_{-6}^{1} (-x^2 - 5x + 6) dx\]

Вычисляем интеграл:

\[S = \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x\right]_{-6}^{1}\]

Вычисляем значение первообразной в точках 1 и -6:

\[S = \left(-\frac{1^3}{3} - \frac{5 \cdot 1^2}{2} + 6 \cdot 1\right) - \left(-\frac{(-6)^3}{3} - \frac{5 \cdot (-6)^2}{2} + 6 \cdot (-6)\right)\] \[S = \left(-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 6\right) - \left(\frac{216}{3} - \frac{5 \cdot 36}{2} - 36\right)\] \[S = \left(-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 6\right) - \left(72 - 90 - 36\right)\] \[S = \left(\frac{-2 - 15 + 36}{6}\right) - \left(72 - 126\right)\] \[S = \frac{19}{6} - (-54)\] \[S = \frac{19}{6} + 54\] \[S = \frac{19 + 54 \cdot 6}{6}\] \[S = \frac{19 + 324}{6}\] \[S = \frac{343}{6}\] \[S ≈ 57.166666...\]

S = \(\frac{343}{6}\)

Результат

Твой статус: Цифровой атлет

Уровень интеллекта: +50

Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке