Найти: \(\angle AOF\). Дано: \(\alpha + \beta = 180^{\circ}\).

Решение:

Углы \(\angle AOF\) и \(\angle COD\) — вертикальные. Углы \(\angle COA\) и \(\angle FOD\) — вертикальные.

\(\angle AOF = \angle AOD + \angle DOF\).

\(\angle COF = \angle COA + \angle AOF\) (развёрнутый угол).

\(\angle COA = \alpha\), \(\angle BOD = \beta\).

\(\angle COD = \angle COA + \angle AOD = \alpha + \angle AOD\).

\(\angle BOF = \angle BOD + \angle DOF = \beta + \angle DOF\).

\(\angle AOC + \angle COB = 180^{\circ}\) (развёрнутый угол).

\(\angle AOF + \angle FOB = 180^{\circ}\) (развёрнутый угол).

\(\angle COB = \angle COA + \angle AOB = \alpha + \angle AOB\).

\(\angle FOD = \angle FOB + \angle BOD = \angle FOB + \beta\).

\(\angle AOC = \alpha\), \(\angle BOD = \beta\).

\(\angle AOF = \angle BOC = \alpha + \beta = 180^{\circ}\).

Ответ: \(\angle AOF = 180^{\circ}\).