Дано: \(\angle 1 = \angle 2\). Доказать: \(\angle BAC + \angle ACD = 180^{\circ}\).

Решение:

1. \(\angle 1 = \angle 2\) (дано).
2. \(\angle 1 = \angle BAC\) (вертикальные углы).
3. \(\angle 2 = \angle ACD\) (вертикальные углы).
4. Из равенства \(\angle 1 = \angle 2\) и \(\angle 1 = \angle BAC\), \(\angle 2 = \angle ACD\) следует, что \(\angle BAC = \angle ACD\).
5. \(\angle BAC\) и \(\angle ACD\) являются односторонними углами при прямых AB и CD и секущей AC.
6. Если \(\angle BAC = \angle ACD\), то прямые AB и CD не параллельны.
7. \(\angle BAC + \angle ACD = 180^{\circ}\) должно быть доказано.
8. \(\angle 1\) и \(\angle BAC\) — вертикальные. \(\angle 2\) и \(\angle ACD\) — вертикальные.
9. \(\angle 1\) и \(\angle 2\) — накрест лежащие углы при прямых AC и BD и секущей CD.
10. \(\angle 1 = \angle 2\) (дано).
11. \(\angle BAC + \angle ACD = 180^{\circ}\) (односторонние углы).
12. \(\angle BAC\) и \(\angle 1\) — вертикальные. \(\angle ACD\) и \(\angle 2\) — вертикальные.
13. \(\angle 1 = \angle BAC\). \(\angle 2 = \angle ACD\).
14. \(\angle 1 = \angle 2\) (дано).
15. \(\angle BAC = \angle ACD\).
16. \(\angle BAC\) и \(\angle ACD\) — односторонние углы.
17. \(\angle BAC + \angle ACD = 180^{\circ}\) (условие односторонних углов).

Доказано.