5.543 Найдите значение выражения: a) \(\left(\frac{5}{6} + \frac{4}{9}\right) - \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{9}\); б) \(\frac{2}{8} \cdot \frac{8}{8} + \left(3 \frac{1}{3} - 2 \frac{2}{5}\right) : \frac{7}{15}\)

а) \(\left(\frac{5}{6} + \frac{4}{9}\right) - \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{9}\)

Сначала найдем сумму в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 18:

\(\frac{5}{6} + \frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{15}{18} + \frac{8}{18} = \frac{15+8}{18} = \frac{23}{18}\)

Затем найдем произведение дробей:

\(\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 9} = \frac{20}{54} = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 27} = \frac{10}{27}\)

Теперь выполним вычитание, приведем дроби к общему знаменателю 54:

\(\frac{23}{18} - \frac{10}{27} = \frac{23 \cdot 3}{18 \cdot 3} - \frac{10 \cdot 2}{27 \cdot 2} = \frac{69}{54} - \frac{20}{54} = \frac{69-20}{54} = \frac{49}{54}\)

Ответ: \(\frac{49}{54}\)

б) \(\frac{2}{8} \cdot \frac{8}{8} + \left(3 \frac{1}{3} - 2 \frac{2}{5}\right) : \frac{7}{15}\)

Сначала найдем произведение дробей:

\(\frac{2}{8} \cdot \frac{8}{8} = \frac{2 \cdot 8}{8 \cdot 8} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}\)

Затем найдем разность в скобках, переведя смешанные числа в неправильные дроби:

\(3 \frac{1}{3} - 2 \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} - \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{10}{3} - \frac{12}{5} = \frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{12 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{50}{15} - \frac{36}{15} = \frac{50-36}{15} = \frac{14}{15}\)

Теперь выполним деление:

\(\frac{14}{15} : \frac{7}{15} = \frac{14}{15} \cdot \frac{15}{7} = \frac{14 \cdot 15}{15 \cdot 7} = \frac{14}{7} = 2\)

И наконец, выполним сложение:

\(\frac{1}{4} + 2 = \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} = \frac{1}{4} + \frac{8}{4} = \frac{1+8}{4} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}\)

Ответ: \(2 \frac{1}{4}\)