Найдите значение выражения $$\frac{7(3a)^2}{a^6a^4}$$ при $$a = \sqrt{15}$$.

Краткое пояснение:

Для нахождения значения выражения, сначала упростим его, используя свойства степеней, а затем подставим заданное значение переменной $$a$$.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощаем числитель выражения.
• $$(3a)^2 = 3^2 \times a^2 = 9a^2$$.
• Тогда числитель равен $$7 \times 9a^2 = 63a^2$$.
2. Шаг 2: Упрощаем знаменатель выражения.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$a^6 \times a^4 = a^{6+4} = a^{10}$$.
3. Шаг 3: Переписываем упрощенное выражение.
• $$\frac{63a^2}{a^{10}}$$
• При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$a^{2-10} = a^{-8} = \frac{1}{a^8}$$.
• Итак, выражение равно $$63 \times \frac{1}{a^8} = \frac{63}{a^8}$$.
4. Шаг 4: Подставляем значение $$a = \sqrt{15}$$.
• $$a^8 = (\sqrt{15})^8$$.
• $$(\sqrt{15})^8 = (15^{1/2})^8 = 15^{(1/2) \times 8} = 15^4$$.
• $$15^2 = 225$$.
• $$15^4 = (15^2)^2 = 225^2 = 50625$$.
5. Шаг 5: Вычисляем окончательное значение.
• $$\frac{63}{a^8} = \frac{63}{50625}$$.
• Сокращаем дробь. Оба числа делятся на 3: $$63 ÷ 3 = 21$$, $$50625 ÷ 3 = 16875$$.
• Получаем $$\frac{21}{16875}$$.
• Оба числа делятся на 3: $$21 ÷ 3 = 7$$, $$16875 ÷ 3 = 5625$$.
• Получаем $$\frac{7}{5625}$$.

Ответ: $$\frac{7}{5625}$$